2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 Ⅱ卷）
文科数学
1.设集合
，，则
答案：
C
分析：
，，∴
.
2. 设
，则
A. 
B. 
C. 
D. 
答案：
D
分析：
由于
，所以
.
3. 已知向量
， 
，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
答案：
A
解答：
由题意知，所以
.
4. 生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标.若从这只兔子中随机取出只，则恰有
只测量过该指标的概率为（ ）
答案：
B
解答：
计测量过的3只兔子为
、、，设测量过的只兔子为
、
则3只兔子的类型有
,则恰好有两只测量过的有
种，所以其概率为.
5. 在“一带一路”常识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那样三人按成绩由高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
答案：
A
解答：
依据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.
6. 设
为奇函数，且当
时，
，则当
时，（ ）
A. 
B. 
C.
D.
答案：
D
解答：
当时，
，，又为奇函数，
有.
7. 设
为两个平面，则
的充要条件是
A. 
内有无数条直线与
平行
B. 内有两条相交直线与平行
C. 平行于同一条直线
D. 垂直于同一平面
答案：
B
分析:
依据面面平行的断定定理易得答案.
8. 若
是函数两个相邻的极值点，则=
A．
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
由题意可知
即,所以.
9.若抛物线
的焦点是椭圆
的一个焦点，则
（ ）
A.2
B.3
C.4
D.8
答案：
D
分析：
抛物线的焦点是，椭圆的焦点是
，
∴，∴.
10. 曲线
在点处的切线方程为
A. 
B. 
C.
D.
答案：
C
分析：
由于
，所以曲线在点处的切线斜率为，
故曲线在点处的切线方程为.
11. 已知，，则（ ）
A.
B. 
C.
D.
答案：
B
解答：
，
，
则，所以，
所以.
12.设F为双曲线
的右焦点，0为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，若
,则的离心率为
A.
B.
C.
D.
答案：
A
分析：设
点坐标为
，则以为直径的圆的方程为-----①，圆的方程
-----②，则①-②，化简得到，代入②式，求得
，则设点坐标为，点坐标为
，故，又,则
化简得到
，，故.故选A.
2、填空题
13. 若变量
满足约束条件则
的最大值是__________.
答案：
解答：
依据不等式组约束条件可知目的函数在处获得最大值为.
14. 国内高铁飞速发展，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________________.
答案：
解答：
平均正点率的估计值
.
15. 的内角的对边分别为.已知，则
__________.
答案：
分析：
依据正弦定理可得,即，显然，所以，故.
16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之1、印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有__________个面，其棱长为__________.
答案：
26
分析：
由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，依据对称性列方程求解.
3、解答卷
17.如图，长方体的底面是正方形，点E在棱上，.
证明：平面
若,,求四棱锥的体积.
答案：
看分析
看分析
解答：
证明：由于面，面
∴ 又，∴平面；
设
则 ，，
由于 ∴，∴
18.已知是各项均为正数的等比数列，.
求的通项公式：
设，求数列
的前n项和.
答案：
（1）；
（2）
解答：
已知，故，求得
或，又，故，则.
把代入，求得，故数列的前项和为.
19. 某行业主管部门为知道本行业中小微型企业的生产状况，随机调查了100个企业，得到这类企业首季相对于前一年首季产值增长率的频数分布表.
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企业数 |
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（1）分别估计这种企业中产值增长率高于40%的企业比率、产值负增长的企业比率；
（2）求这种企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精准到0.01）
附：.
答案：
详见分析
解答:
（1）这种企业中产值增长率高于40%的企业比率是，
这种企业中产值负增长的企业比率是.
（2）这种企业产值增长率的平均数是
这种企业产值增长率的方差是
所以这种企业产值增长率的规范差是
.
20. 已知是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点.
（1）若为等边三角形，求的离心率；
（2）假如存在点，使得，且的面积等于，求
的值和的取值范围.
答案：
详见分析
解答:
（1）若为等边三角形，则的坐标为，代入方程，可得，解得，所以.
（2）由题意可得，由于，所以
，
所以，所以
，
所以，所以，解得.
由于
，即，即，
所以，所以.
21. 已知函数.证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
答案：
见分析
解答：
（1），设，
则在上递增，，，
所以存在唯一，使得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在
上递增，所以存在唯一的极值点.
（2）由（1）知存在唯一，使得，即，
，
，，
所以函数在上，上分别有一个零点.
设，，则，
有，
，
设，当时，恒有，
则时，有.
4、选做题（2选1）
22.在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与
垂直，垂足为.
当时，求及的极坐标方程；
当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.
答案：
，的极坐标方程：；
点轨迹的极坐标方程为.
分析：
当时，，
以为原点，极轴为轴打造直角坐标系，在直角坐标系中有，，，则直线的斜率，由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；
∵∴，则点的轨迹为以
为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为
，化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，∴点轨迹的极坐标方程为.
23. [选修4-5：不等式选讲]
已知
当时，求不等式的解集：
若时，，求得取值范围.
答案
（1）看分析
（2）看分析
解答：
（1）当时，
所以不等式等价于或或解得不等式的解集为。
（2）当时，由，可知恒成立，当时依据条件可知不恒成立。所以的取值范围是。
