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专题08 二次函数的图象性质与应用问题
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【考试知识点1】二次函数的图象与性质
【例1】（2019·四川中考考试真题）二次函数
的图象如图所示，对称轴为直线
，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．当
时，顶点的坐标为
C．当
时，
D．当
时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】
【剖析】
依据对称轴公式
和二次函数的性质，结合选项即可得到答案.
【解析】
解：∵二次函数
∴对称轴为直线
∴，故A选项正确；
当时，
∴顶点的坐标为，故B选项正确；
当时，由图象知此时
即
∴
，故C选项不正确；
∵对称轴为直线且图象开口向上
∴当时，y随x的增大而增大，故D选项正确；
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的重点是熟练学会二次函数.
【变式1-1】
（2019·重庆中考考试真题）抛物线
的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线
D．直线
【答案】C
【分析】
【剖析】
将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【解析】
解：∵
，
∴抛物线顶点坐标为
，对称轴为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．抛物线
的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
【变式1-2】（2019·浙江中考考试真题）已知抛物线
与轴有两个不一样的交点.
求
的取值范围；
若抛物线经过点和点，试比较
与的大小，并说明理由.
【答案】 的取值范围是
； . 理由见分析.
【分析】
【剖析】
（1）由二次函数与x轴交点状况，可知△＞0；
（2）求出抛物线对称轴为直线x=1，因为A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右边，即可求解；
【解析】
.
由题意，得
，
∴
∴的取值范围是.
. 理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线，
又∵，
∴当
时，
随的增大而增大.
∵
，∴.
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质；熟练学会二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的重点．
【考试知识点2】抛物线的平移与分析式的确定
【例2-1】（2019·山东中考考试真题）将抛物线
向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线分析式是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
【剖析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后依据顶点式写出平移后的抛物线分析式．
【解析】
解：
，即抛物线的顶点坐标为
，
把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为
，
所以平移后得到的抛物线分析式为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：因为抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线分析式一般可借助两种办法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，借助待定系数法求出分析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出分析式．
【例2-2】（2019·山西中考考试真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不一样的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米，跨径为90米，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为
轴打造平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
【剖析】
设抛物线分析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为，借助待定系数法进行求解即可.
【解析】
∵拱高为78米，跨径为90米，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴打造平面直角坐标系，
∴设抛物线分析式为y=ax2，点B，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练学会待定系数法是解本题的重点.
【变式2-1】（2019·西藏中考考试真题）把函数
的图象，经过什么样的平移变换将来，可以得到函数的图象（）
A．向左平移个单位，再向下平移个单位
B．向左平移个单位，再向上平移个单位
C．向右平移个单位，再向上平移个单位
D．向右平移个单位，再向下平移个单位
【答案】C
【分析】
【剖析】
依据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【解析】
抛物线的顶点坐标是
，抛物线线的顶点坐标是
，
所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点，
马上函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象．
故选：C．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，需要熟练学会平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数分析式．
【变式2-2】（2019·江苏中考考试真题）已知二次函数的图象经过点，顶点为将该图象向右平移，当它第三经过点时，所得抛物线的函数表达式为__．
【答案】
．
【分析】
【剖析】
设原来的抛物线分析式为：
．借助待定系数法确定函数关系式；然后借助平移规律得到平移后的分析式，将点的坐标代入即可．
【解析】
设原来的抛物线分析式为：，
把代入，得
，
解得，
故原来的抛物线分析式是：，
设平移后的抛物线分析式为：，
把代入，得
，
解得或，
所以平移后抛物线的分析式是：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特点．借助待定系数法确定原来函数关系式是解题的重点．
【变式2-3】（2019·浙江中考考试真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【答案】B
【分析】
【剖析】
依据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【解析】
y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．
所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），
故选B．
【点睛】
此题主要考查了次函数图象与几何变换，需要熟练学会平移的规律：左加右减，上加下减．
【变式2-4】（2019·四川中考考试真题）将抛物线向左平移_______个单位后经过点
．
【答案】3
【分析】
【剖析】
直接借助二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．
【解析】
解：∵将抛物线向左平移后经过点，
∴设平移后分析式为：
，
则，
解得：或
（不合题意舍去），
故将抛物线向左平移3个单位后经过点．
故答案为：3．
【点睛】
考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题重点．
【考试知识点3】二次函数的图象与字母系数的关系
【例3】（2019·辽宁中考考试真题）已知二次函数
的图象如图所示，现给出下列结论：①
；②
；③
；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
【剖析】
依据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的地方可判断b的符号，进而可判断①；
抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的分析式可判断②；
依据抛物线顶点的地方可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
依据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【解析】
解：①由图象可知：，
，因为对称轴
，∴
，∴，故①正确；
②∵抛物线过，∴时，，故②正确；
③顶点坐标为：
.由图象可知：，∵，∴，即，故③错误；
④由图象可知：
，，∴，
∵，∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练学会抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想办法是解题的重点.
【变式3-1】（2019·浙江中考考试真题）小飞研究二次函数y=-2-m+1性质时如下结论：①这个函数图象的顶点一直在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】 【剖析】 把顶点坐标代入y=-x+1即可判断①；依据勾股定理即可判断②；依据在对称轴的右侧y随x的增大而减小可判断③；；依据在对称轴的右侧y随x的增大而增大可判断④. 【解析】 把（m，-m+1）代入y=-x+1，-m+1=-m+1，左=右，故①正确； 当-2-m+1=0时，x1= 若顶点与 则1-m+2+1-m+2=4，即m2-m=0， ∴m=0或1时，∴存在一个m的值，使得函数图象的顶点与 当x1 ∵-1<0, ∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵-1<0, ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大， ∴m≥2，故④正确. 故选C. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，二次函数与坐标轴的交点，熟练学会二次函数的图像与性质是解答本体的重点. 对于二次函数y=a2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.其顶点坐标是，对称轴为直线x=h. 【变式3-2】（2019·广西中考考试真题）已知抛物线
轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A与点B在函数图象上，若x1
, x2=
, 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①
；②；③；④当时，，正确的是_____（填写序号）．
