川沙中学2018学年高中二年级第一学期数学期末考试题
1、填空题（每题3分）
1.设抛物线的焦点坐标为（1，0），则此抛物线的规范方程为_________.
2.已知复数
（
为虚数单位），则它的虚部为_________.
3.若复数
满足
（是虚数单位），则
_________.
4.设
，若复数
在复平面内对应的点坐落于实轴上，则
_________.
5.将椭圆的参数方程
（
为参数）转化为普通方程_________.
6.已知抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合，则双曲线的渐近线方程为_________.
7.已知圆
和点，则过点
的圆的切线方程为._________
8.若复数
复平面上对应的点在直线
上，则
的最小值是_________.
9.已知抛物线型拱桥的顶点蹑水面2米时，量得水面宽为8米，当水面降低1米后，水面的宽为_________米.
10.已知椭圆
上的一点也在抛物线
上，设抛物线焦点为
，若，则_________.
11.已知
是实系数一元二次方程
的一个虚数根，且
，则实数
的取值范围是_________.
12.点
分别是椭圆
的左、右焦点，点
为椭圆
的上顶点，若动点
满足：
，则
的最大值为_________.
2、选择题（每题3分）
13.在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ）
A.若为实数，则 
B.若，则为实数
C.若
为实数，则为实数 D.若为实数，则为实数
14.当时，方程
所表示的曲线是（ ）
A.焦点在
轴的椭圆上 B.焦点在轴的双曲线
C.焦点在轴的椭圆 D.焦点在轴的双曲线
15.若实系数一元二次方程有两虚数根
，且，那样实数的值是（ ）
A. B.
C. D.
16.已知点
，，为曲线上任意一点，则
的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、解答卷（第17题共8分，第18题共8分，第19题共10分，第20题共12分，第21题共14分）
17.设为关于的方程，的虚根，为虚数单位.
（1）当时，求
的值；
（2）在（1）的条件下，若，，求
的取值范围。
18.已知动点
到点的距离为，动点到直线
的距离为，且
.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若直线
交曲线于
两点，求的面积。
解：
19.已知双曲线.
（1）若经过点的直线
与双曲线的右支交于不同两点
，求直线的斜率的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求线段的中垂线在轴上的截距
的取值范围.
解：
20.如图，已知满足条件
（其中为虚数单位）的复数在复平面
上的对应点
的轨迹为圆（圆心为），定直线的方程为，过
斜率为的直线与直线相交于点，与圆相交于两点，是弦
中点.
（1）若直线经过圆心，求证：与垂直；
（2）当时，求直线的方程；
（3）设
，试问是不是为定值？若为定值，请求出的值，若不为定值，请说明理由.
解：
21.给出定理：在圆惟曲线中，是抛物线
的条弦， 是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为
.若两点纵坐标之差的绝对值，则的面积，试运用上述定理求解以下各题：
（1）若，所在直线的方程为
，是的中点，过且平行于轴的直线与抛物线
的交点为，求
；
（2）已知是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为，分别为和的中点，过且平行于轴的直线与抛物线分别交于点，若两点纵坐标之差的绝对值，求和
：
（3）请你在上述问题的启发下，设计一种办法求抛物线：与弦围成成的“弓形”的面积，并求出相应面积.
