《3.3 二元一次方程组及其解法》基础训练
1. 有下列方程组：①
；②
；③
；④
；⑤
，其中二元一次方程组有.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 用代入法解方程组
下列说法正确的是.
A．直接把①代入②，消去y
B．直接把①代入②，消去x
C．直接把②代入①，消去y
D．直接把②代入①，消去x
3. 用代入法解方程组
比较适当的变形是.
A.由①得x＝
B.由①得y＝
C.由②得x＝
D.由②得y＝2x－5
4. 已知y＝－1是方程2x－ay＝3的一个解，那样a的值是.
A．1 B．3 C．－3 D．－1
5. 下列用代入法解方程组的步骤，其中最简单的是.
A.由①，得x＝
③，把③代入②，得3×＝11－2y
B.由①，得y＝3x－2③，把③代入②，得3x＝11－2
C.由②，得y＝
③，把③代入①，得3x－＝2
D.把②代入①，得11－2y－y＝2
6. 已知①3x－5y＝9；②3x＋2y＝10；③3x－4y＝1；④4x－3y＝7.四个方程组，比较适合的解法分别是.
A．①②用代入法，③④用加减法
B．②③用代入法，①④用加减法
C．①③用代入法，②④用加减法
D．②④用代入法，①③用加减法
7. 解二元一次方程组6x＋5y＝38②消元时，下面的办法中，计算比较方便的是.
A．用代入法，将x＝
－
代入②
B．用加减法，将①－②消去x
C．用代入法，将y＝
＋
代入①
D．用加减法，将②－①消去y
8. 用加减法解方程组x－y＝－1，消x，消y分别用.
A．加法，加法 B．加法，减法
C．减法，加法 D．减法，减法
9. 下列各组数中，不是方程3x－2y－1＝0的解是.
A．x＝1，y＝1 B．x＝2，y＝
C．x＝0，y＝ D．x＝2，y＝1
10. 二元一次方程组
的解是.
A． B．
C．
D．
11. 解方程组：
12. 用代入法解下列方程组：
x＋5y＝1；② .②
13. 用加减消元法解下列方程组：
3x－2y＝15；② －1.②
14. 已知x、y满足方程组3x＋y＝－1，求代数式x－y的值．
15. 解方程组：
答案和分析
【答案】
1. B 2. B 3. D 4. A 5. D
6. C 7. B 8. C 9. D 10. C
11．
12. y＝3；； .
13. y＝－3；y＝2.
14. －3.
15. 
【分析】
1. 解：①方程组中第一个方程含未知数的项xy的次数不是1；
②方程组中第二个方程不是整式方程；
③方程组中共有3个未知数．只有④⑤满足，其中⑤中的是常数．
故选B.
辨别一个方程组是不是为二元一次方程组的办法：一看方程组中的方程是不是都是整式方程；二看方程组中是否只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是否都为1.
2. 解：对于方程组，比较两个方程系数的特征可知将x＝2y代入y－x＝3，易求出解，即直接把①代入②，消去x.
故选B.
用代入法解二元一次方程组，重点是察看方程组中未知数的系数的特征，选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
3. 解：对于方程组，比较两个方程系数的特征可知，
由方程②易得出y＝2x－5，将y＝2x－5代入方程①，如此用代入法比较合理.
故选D.
用代入法解二元一次方程组，重点是察看方程组中未知数的系数的特征，选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
4. 解：将y＝－1代入方程2x－ay＝3，得2＋a＝3，所以a＝1.
故选A.
依据方程的解的概念知，将x，y的值代入方程中，方程左右两边相等，即可求解．
5. 解：对于方程组
若使用代入法，则最简单的办法是把②代入①，得11－2y－y＝2.
故选D.
用代入法解二元一次方程组，重点是察看方程组中未知数的系数的特征，选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
6. 解：对于方程组①，比较两个方程系数的特征可知将x＝2y代入3x－5y＝9，易求出解，即该方程组使用了代入法；
对于方程组②，察看方程组中未知数的系数，y的系数正好互为相反数，所以该方程组应使用加减法；
对于方程组③，比较两个方程系数的特征，易求出x＝－y，将它代入3x－4y＝1，易求出解，即该方程组使用了代入法；
对于方程组④，察看方程组中未知数的系数，x的系数正好相等，所以该方程组应使用加减法.
故选C.
用代入法解二元一次方程组，重点是察看方程组中未知数的系数的特征，选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．用加减法解二元一次方程组时，决定消到哪里个未知数非常重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数；复杂的方程组必须要先化简，再察看考虑消元策略．
7. 解：对于方程组，察看方程组中未知数x，y的两组系数，x的系数正好相等，所以该方程组应使用加减法，用①－②消去x.
故选B.
用加减法解二元一次方程组时，决定消到哪里个未知数非常重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数；复杂的方程组必须要先化简，再察看考虑消元策略．
8. 解：方程组中未知数x的两组系数相等，都是1，故消x应用减法；而未知数y的两组系数互为相反数，故消y应用加法.
故选C.
用加减法解二元一次方程组时，未知数的系数相等用减法，未知数的系数互为相反数用加法.
9. 解：A．3×1－2×1－1＝3－2－1＝0，故x＝1，y＝1是方程3x－2y－1＝0的解；
B．3×2－2×－1＝6－5－1＝0，故x＝2，y＝是方程3x－2y－1＝0的解；
C．3×0－2×
－1＝0＋1－1＝0，故x＝0，y＝是方程3x－2y－1＝0的解；
D．3×2－2×1－1＝6－2－1＝3≠0，故x＝2，y＝1不是方程3x－2y－1＝0的解.
故选D.
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 将选项中的解代入方程进行判断即可.
10. 解：方程组，
将
代入①得，
，
解得，
，
将代入②得，
，
故二元一次方程组的解是.
故选C.
用代入法解二元一次方程组，重点是察看方程组中未知数的系数的特征，选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
11. 解：由①，得y＝4－x.③
把③代入②，得2x－3＝3，
解这个方程，得x＝3.
把x＝3代入③，得y＝1.
所以这个方程组的解是.
方程①中y的系数为1，用含x的式子表示y，然后用代入法解方程组.
借助代入法解方程组的思路：将它中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元方程为一元方程．用代入法解方程组时，选择方程用一个未知数表示另一个未知数是解题重点，它影响着解题繁简程度，因此应尽可能选取系数比较简单的方程．
12. 解：由②，得x＝1－5y.③
把③代入①，得2＋3y＝－19，
2－10y＋3y＝－19，－7y＝－21，y＝3.
把y＝3代入③，得x＝－14.
所以原方程组的解是y＝3；；
将原方程组整理，得4x－3y＝－5.④
由③，得x＝3y＋12. ⑤
把⑤代入④，得2－3y＝－5，
3y＝－7，y＝－.
把y＝－代入⑤，得x＝－3.
所以原方程组的解是.
对于方程组，比较两个方程系数的特征可知应将方程②变形为x＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组，应将方程组变形为4x－3y＝－5，④ 察看③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x＝，然后代入④求解．
用代入法解二元一次方程组，重点是察看方程组中未知数的系数的特征，选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．
13. 解：①×2，得8x＋6y＝6. ③
②×3，得9x－6y＝45. ④
③＋④，得17x＝51，x＝3.
把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，y＝－3.
所以原方程组的解是y＝－3；
先化简方程组，得4x－5y＝6.④
③×2，得4x＋6y＝28. ⑤
⑤－④，得11y＝22，y＝2.
把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，x＝4.
所以原方程组的解是y＝2.
察看x，y的两组系数，把方程①的两边同乘以2，得8x＋6y＝6 ③，把方程②的两边同乘以3，得9x－6y＝45 ④，把③与④相加就能消去y；先化简方程组，得4x－5y＝6.④察看其系数，把方程③两边都乘以2，得4x＋6y＝28 ⑤，再把方程⑤与方程④相减，就能消去x.
用加减法解二元一次方程组时，决定消到哪里个未知数非常重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数；复杂的方程组必须要先化简，再察看考虑消元策略．
14. 解：3x＋y＝－1，②
②－①得2x－2y＝－1－5，③
2得x－y＝－3.
察看两个方程的系数，可知两方程相减得2x－2y＝－6，从而求出x－y的值．
解题的重点是察看两个方程相同未知数的系数关系，借助加减消元法求解．
15. 解：将①×2，得8x＋2y＝28.③
②－③，得y＝2.
把y＝2代入①，得4x＋2＝14.
解得，x＝3.
所以方程组的解为
在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减，都不可以消去未知数x或y.大家可以对其中一个（或两个）方程进行变形，使得这个方程组中x或y的系数相等或互为相反数，再来求解.
《3.3 二元一次方程组及其解法》提升训练
1. 已知|m－1|x|m|＋y2n-1＝3是关于x、y的二元一次方程，则m＋n＝.
A．0 B．1 C．2 D．3
2. 已知y＝1是二元一次方程组ax－by＝1的解，则a－b的值为.
A．1 B．－1 C．2 D．3
3. 若2x|m|＋y＝3m－1是关于x，y的二元一次方程，则m的值为.
A．－1 B．±1 C．1 D．0
4. 若方程mx－2y＝3x＋4是关于x，y的二元一次方程，则m的取值范围是.
A．m≠0 B．m≠3 C．m≠－3 D．m≠2
5. 已知
那样x－y的值是.
A．1 B．0 C．－1 D．2
6. 方程组
的解是.
A．
B．
C．
D．
7. 若a的相反数是2b＋1，b的相反数是3a＋1，则＋＝.
A．
B． C． D．
8. 用代入消元法解二元一次方程组
.
9. 甲、乙两人一同解方程组4x－by＝－2.②因为甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为y＝－1；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为y＝4.试计算a2015＋b的值．
10. 已知xm-n+1y与－2xn-1y3m-2n-5是相同种类项，求m和n的值．
答案和分析
【答案】
1. A 2. B 3. C 4. B 5. C 6. A 7. C
8.
9. 0.
10. n＝3
【分析】
1. 解：依据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，
解得m＝－1，n＝1.
所以m＋n＝0.
故选A.
依据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，即可求得m、n的值．
本题的解题重点是正确理解二元一次方程的概念，依据概念求出未知数．
2. 解：把解代入原方程组得2a－b＝1，，解得b＝3，，所以a－b＝－1.
故选B.
解这种题就是依据方程组解的概念求，马上解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．
3. 解：依据题意得|m|＝1且m＋1≠0，
解得m＝±1且m≠－1.
所以m＝1.
故选C.
依据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，即可求得m的值．
本题的解题重点是正确理解二元一次方程的概念，依据概念求出未知数．
4. 解：将方程变形可得，x－2y＝4，
依据二元一次方程的概念可知，m－3≠0，
即m≠－3，
所以，m的取值范围是m≠－3.
故选B.
依据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，将方程进行变形后，即可求得m的值．
本题的解题重点是正确理解二元一次方程的概念，依据概念求出未知数．
5. 解：方程组
需要x－y的值，用①－②即可.①－② 得，x－y＝－1.
故选C.
用加减法解二元一次方程组时，决定消到哪里个未知数非常重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数；复杂的方程组必须要先化简，再察看考虑消元策略．
6. 解：先化简方程组，得
②×2－①×3得，19y＝41.8，
解得，y＝2.2.
将y＝2.2代入①得，2x－3×2.2＝6，
解得，x＝6.3.
所以方程组的解为
故选A.
用加减法解二元一次方程组时，决定消到哪里个未知数非常重要，一般选择消去两个方程中系数的最小公倍数的绝对值较小的未知数；复杂的方程组必须要先化简，再察看考虑消元策略．
7. 解：依据题意可得，
由①得，a＝－2b－1，③
将③代入②得，b＋3＋1＝0，
解得，b＝－，
将b＝－代入③得，a＝－2×－1＝－1＝－.
则＋＝.
故选C.
依据绝对值的概念和已知条件可得关于a，b的二元一次方程组.由加减法可以求出a，b的值，进而可以得到代数式＋的值.
8. 解：将原方程组化简，得
由①得y＝，③
把③代入②得4x－3×＝18，
解得，x＝9.
把x＝9代入③中，得y＝6.
所以原方程组的解为.
当二元一次方程组中的系数较复杂时，可先将方程组整理成二元一次方程组的规范形式.这里
，
，
，，，
是常数，x，y是未知数．
9. 解：把y＝－1代入②，得－12＋b＝－2，所以b＝10；
把y＝4代入①，得5a＋20＝15，所以a＝－1；
所以a2015＋b＝2015＋×10＝0.
由方程组解的概念知：甲看错了方程①中的a得到方程组的解为y＝－1，说明y＝－1是方程②的解；同样y＝4是方程①的解．
借助方程组的解确定字母参数的办法是将方程组的解代入它合适的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．
10. 解：由于xm-n+1y与－2xn-1y3m-2n-5是
相同种类项，
所以3m－2n－5＝1.②整理，得3m－2n－6＝0.④
④－③，得2m＝8，所以m＝4.
把m＝4代入③，得2n＝6，所以n＝3.
所以当n＝3时，xm-n+1y与－2xn-1y3m-2n-5是相同种类项．
依据相同种类项的定义，可列出含字母m和n的方程组，从而求出m和n .
解这种题，就是依据相同种类项的概念，借助相同字母的指数分别相等，列方程组求字母的值．
《3.3 二元一次方程组及其解法》培优训练
1. 小刘同学用10元钱购买两种不一样的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设1元的贺卡为x张，2元的贺卡为y张，那样x，y所合适的一个方程组是.
A．x＋y＝8 B. x＋2y＝10
C．x＋2y＝8 D．x＋2y＝10
2. 对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝am－bn. 若3⊕＝15，4⊕＝28，则
⊕2的值为.
A．－13 B．13 C．2 D．－2
3. 若＋|2x－y＋3|＝0，则x－y的值为.
A．1 B．－1 C．3 D．－3
4. 解方程组
5. 解方程组.
答案和分析
【答案】
1. D 2. A 3. B
4. 
.
5. .
【分析】
1. 解：依据题意可得到两个相等关系：
1元贺卡张数＋2元贺卡张数＝8，即x＋y＝8；1元贺卡钱数＋2元贺卡钱数＝10，即x＋2y＝10.
故选D.
要判断什么方程组符合题意，可从题目中找出两个相等关系，然后代入未知数，即可得到方程组，进而得到正确答案．
2. 解：依据题意可得，
②×3－①×4得，n＝24，
将n＝24代入①得，m＝－35，
则⊕2＝×－2×24＝35－48＝－13.
故选A.
依据题中给出的概念和已知条件，可以得到关于m，n的二元一次方程组.依据加减消元法，即可求出m，n的值，将它代入公式即可求出⊕2的值.
3. 解：依据题意可得，
①－②得，x＝－2，
将x＝－2代入①得，3×－y＋5＝0，
解得，y＝－1.
则x－y＝－2－＝－1.
故选B.
依据平方和绝对值的性质可以得到关于x，y的二元一次方程组，通过加减法即可求出x，y的值，进而可以求出x－y的值.
4. 解：将原方程组化简，得
①×5，得25x＋5y＝180. ③
③－②，得26x＝156，
解得x＝6.
把x＝6代入①，得y＝6.
所以原方程组的解是.
每一个二元一次方程组均可使用代入法或加减法求解，但在解题中大家应依据方程组的特征灵活使用最适合的办法，使计算过程简单，一般地，当化简后的方程组存在一个方程的某个未知数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法；当两个方程中的某一个未知数系数的绝对值相等或成倍数关系时，用加减法．
5. 解：方程组
①＋②，得27x＋27y＝81，
化简，得x＋y＝3 ③，
②，得－x＋y＝－1 ④，
联立③和④，得
，
④，得2y＝2，解得y＝1.
③－④，得2x＝4，解得x＝2.
所以原方程组的解是.
呈现形式的方程组称为轮换对称方程组，将两式分别相加和相减后得到的两个方程，组成一个简单的二元一次方程组，再解这个方程组．
解轮换对称方程组的步骤：①两式相加；②两式相减；③把新得的两个方程联立，解这个方程组．
