第4课时平面向量基本定理、
平面向量的正交分解及坐标表示
基础达标
1.设O点是平行四边形ABCD两条对角线的交点,在下列向量组中,可作为这个平行四边形所在平面的基底的是.
①
与
;②
与
;③
与
;④
与
.
A.①②B.①③C.①④D.③④
【分析】依题意,由于
与
不共线,
与
不共线,所以①③可以作为这个平行四边形所在平面的基底.
【答案】B
2.已知O是坐标原点,点P在第三象限,且|
|=3,∠xOP=210°,则的坐标为.
A.
B.
C.
D.
【分析】设点P,则x=|
|cosplay 210°=3×=-
,y=||sin 210°=3×
=-
,所以的坐标为.
【答案】B
3.已知i,j分别是与x轴,y轴正方向相同的单位向量,设a=i-j,则向量a坐落于.
A.1、二象限 B.2、三象限
C.第三象限 D.第四象限
【分析】由于a=,
且x2+x+1=
+
>0,-x2+x-1=-
-<0,
所以向量a坐落于第四象限.
【答案】D
4.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,点E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若
=a,
=b,则=.
A.
a+b B.
a+
b
C.a+b D.a+b
【分析】
=
+
=a+=a+=a+b.
【答案】D
5.已知a=,b=,且a=b,则x=__________,y=__________.
【分析】由于a=b,所以=,
所以
解得
【答案】41
6.已知在△ABC中,点M,N满足
=2
,
=.若
=x+y,则x=__________,y=__________.
【分析】由题意得=
+
=
+=+=
-=x+y,所以x=,y=-.
【答案】-
7.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
证明:a,b可以作为一组基底.
以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.
若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
【分析】假设a=λb,则e1-2e2=λ,由e1,e2不共线,得
故λ没有,
所以a与b不共线,可以作为一组基底.
设c=ma+nb,
则3e1-e2=m+n=e1+e2,
即
解得所以c=2a+b.
由4e1-3e2=λa+μb,
得4e1-3e2=λ+μ=e1+e2,即
解得
拓展提高
8.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点,则+++等于.
A.
B.2 C.3 D.4
【分析】
+
++=+=2+2=4.故选D.
【答案】D
9.已知A,B,C三点在同一条直线上,O为直线外一点,若p+q+r=0,其中p,q,r∈R,则p+q+r=.
A.-2 B.0 C.1 D.2
【分析】由于A,B,C三点在同一条直线上,所以存在实数λ使=λ,
所以-=λ,即+-λ=0.
由于p+q+r=0,所以p=λ-1,q=1,r=-λ,所以p+q+r=0.故选B.
【答案】B
10.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:
①=-a-b;②=a+b;③=-a+b;④++=0.
其中正确命题的序号为__________.
【分析】如图,=+=-b+=-b-a,①正确;
=
+
=a+b,②正确;
=+=-b-a,=+=b+=b-a,③正确;
++=-b-a+a+b+b-a=0.④正确.
【答案】①②③④
11.如图所示,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2
,若=λ+μ,求λ+μ的值.
【分析】由题图知λ>0,μ>0.
作=λ,
=μ,如图所示,使OA1CB1为平行四边形.
∵∠BOC=90°,
在Rt△B1OC中,∠OCB1=30°,
∴||=||·tan 30°=2
×=2,
||==
=4.
又∵||=||=1,∴=4,=2,
即λ=4,μ=2,∴λ+μ=6.
